Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2010]内所有希望数的和M=（ ）
A．2026
B．2036
C．2046
D．2048

Answer

利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3…ak，得k=2m-2，给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有希望数，然后求和．
【解析】
an=logn+1（n+2），
∴由a1•a2•ak为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m-2； 因为211=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有希望数为22-2，23-2，24-2，，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选A．