Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x²，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为，求a，b的值．

Answer

（1）由题意设x＜0，得-x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=-x2-2x，再由f（x）=-f（-x），求出f（x）时的解析式．
（2）因为0＜a＜b，利用配方法，可以证明f（x）在x＞0时的单调性，需要分类讨论，再对其进行求解；
【解析】
（1）设x＜0，可得-x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x-x2，
∴f（-x）=-2x-（-x）2=-2x-x2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x2，
∴f（x）=x2+2x
∴f（x）=
（2）∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x-x2=-（x-1）2+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a-a2，2b-b2]，
f（x）的值域为，∴解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b-b2，2a-a2]，f（x）的值域为，
∴，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=2-1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为，
∴=1，可得a=1，
若=2a-a2，可得b=1（舍去）；
若=2b-b2，化简得（b-1）（b2-b-1）=0解得b1=，b2=（舍去），
∴a=1，b=