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已知大于1的正数x,y,z满足. (1)求证:. (2)求的最小值.

已知大于1的正数x,y,z满足manfen5.com 满分网
(1)求证:manfen5.com 满分网
(2)求manfen5.com 满分网的最小值.
(1)可以将不等式左边乘以)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]然后利用柯西不等式进行放缩求解; (2)根据对数函数的性质,然后再利用柯西不等式进行放缩,注意不等式取等号的条件进行证明; 【解析】 (1)由柯西不等式得, ()[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27 得:; (2)∵=++, 由柯西不等式得:(++)(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)), 由柯西不等式得:(++)(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9 所以,, . ∴. ∴.得 所以,当且仅当时,等号成立. 故所求的最小值是3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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