Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer

（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（0）=1，可以退出当x∈R时，f（x）＞0．设x1＜x2，计算 f（x1）-f（x2）＜0，可得f（x）是定义域上的增函数．
（2）由数列{an}满足a1=a≠0，f（an+1）=f（aan）f（a-1）=f[（aan）+（a-1）]，由f（x）是定义域R上的增函数，可得 an+1+1=a（an +1），故{an +1}是以a+1为首项，以a为公比的等比数列．求出{an +1}的通项公式可得{an }的通项公式，从而求得{an }的前n项和sn．
【解析】
（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（1）=f（1）f（0）．再由f（1）＞1，可得f（0）=1．
当x＜0时，f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）=1，由-x＞0 可得f（-x）＞1，f（x）=∈（0，1）．
当x＞0时，同理可得f（x）＞0．  综上可得，当x∈R时，f（x）＞0．
设x1＜x2，则 f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x1-x2）f（x2）-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]．
由x1-x2＜0，x＜0时，0＜f（x）＜1，可得  f（x1-x2）-1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
故f（x）是定义域上的增函数．
（2）数列{an}满足a1=a≠0，f（an+1）=f（aan）f（a-1）=f[（aan）+（a-1）]，
由f（x）是定义域R上的增函数，可得an+1=aan +a-1，即an+1+1=a（an +1），故{an +1}是以a+1为首项，以a为公比的等比数列．
故 an +1=（a+1）an-1，故 an =（a+1）an-1-1．
故{an }的前n项和sn=（a+1）（1+a+a2+a3+…+an-1）-n=．