Question

在（1）和（2）中可以任选一题作答
（1）在曲线C₁：（θ为参数）上求一点，使它到直线C₂：（t为参数）的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．
（2）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为：．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l相交于A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．

Answer

（1）先将曲线C1与直线C2化为普通方程，所求问题转化为与直线C2平行且且与圆C1相切的切线问题，进而得到答案．
（2）（Ⅰ））由圆C的方程为：，得，进而可化为普通方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为普通方程，再与圆C的方程联立，即可求得点A、B的坐标，使用两点间的距离公式即可得出答案．
【解析】
（1）将曲线C1：（θ为参数）化为普通方程（x-1）2+y2=1．
将直线C2：（t为参数）消去参数t化为普通方程x+y=．
设与直线C2平行且与圆C1相切的直线l的方程为x+y=t，如图所示：
联立消去y得到（x-1）2+（x-t）2=1，即2x2-2（1+t）x+t2=0，
∵△=0，∴4（t+1）2-8t2=0，解得，
当取t=时，切点M到直线C2：x+y=的距离最小，此时，由方程解得，得y=，
∴切点M．
其最小距离为=1．

∴要求的点的坐标和最小距离分别是切点M，1．
（2）（Ⅰ）由圆C的方程为：，∴，∴，即．
（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程x+y=3+．
联立解得或，不妨设A（1，），B（2，1），
∴|PA|+|PB|=+=．