Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，求证：AD⊥DC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer

（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．
（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．
证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1∥平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．
（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．       
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1．                                  …（5分）
因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．                   …（7分）
（2）（证法一） 
连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．                     …（11分）
因为OD⊂平面ADC1，A1B∉平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．                                 …（14分）
（证法二） 
取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．
因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，
所以D1B∥平面ADC1．
同理可证A1D1∥平面ADC1．
因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1．                          …（11分）
因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．           …（14分）