Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列．

Answer

（Ⅰ）假设存在一个实数，使{an}是等比数列，由题意知（ ）2=2 ，矛盾．所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）由题设条件知b1=-（λ+18）≠0．bn≠0，∴，故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．
证明：（Ⅰ）假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即 ，矛盾．
所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）∵
=．
λ≠-18，∴b1=-（λ+18）≠0．
由上式知 bn≠0，∴，
故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．