Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a₄≤2a₁+a₂+a₃；
（Ⅲ）若a_n=72，求n的最小值．

Answer

（Ⅰ）根据性质P直接验证即可．
（Ⅱ）由于集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，于是对a4而言，存在ai，aj∈{a1，a2，…，an}，使得 a4=ai+aj，可得a4≤2a3，同理可得a3≤2a2，a2≤2a1，进而可得结论．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，得a2≤2，…，a7≤64＜72，所以n≥8．按照性质P去构造数集A即可．
【解析】
（Ⅰ）因为2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．
因为不存在ai，aj∈{1，3，4，7}，使得3=ai+aj．
所以{1，3，4，7}不具有性质P．
（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，
所以对a4而言，存在ai，aj∈{a1，a2，…，an}，使得 a4=ai+aj
又因为1=a1＜a2＜a3＜a4…＜an，n≥4
所以ai，aj≤a3，所以a4=ai+aj≤2a3．
同理可得a3≤2a2，a2≤2a1
将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）
所以a4≤2a1+a2+a3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72
所以n≥8
构造数集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），
经检验A具有性质P，故n的最小值为8．