Question

设函数f（x）=x³-3ax²+3b²x
（1）若a=1，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若0＜a＜b，不等式，f（）＞f（）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

Answer

（1）把a=1，b=0代入函数f（x）=x3-3ax2+3b2x中，对其进行求导，求出x=1处的导数，得出直线的斜率，写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）对f（x）进行求导，利用导数研究其单调性，可得f（x）是单调递减的，根据不等式，f（）＞f（），可以推出＞，利用常数分离法进行求解；
【解析】
（1）当a=1，b=0时，f（x）=x3-3x2 所以f（1）=-2 即切点为P（1，-2）
因为f′（x）=3x2-6x所以 f′（1）=3-6=-3，
所以切线方程为y+2=-3（x-1）即y=-3x+1，
（2）f′（x）=3x2-6ax+3b2，
由于0＜a＜b，所以△=36a2-36b2=36（a+b）（a-b）＜0，
所以函数f（x）在R上单调递增
所以不等式f（）＞f（）
⇔＞⇔＞k，对x∈（1，+∞）恒成立，
构造h（x）=，h′（x）==
构造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=1-=，
对x∈（1，+∞），g′（x）=＞0 所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）递增，
g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
所以∃x∈（3，4），g（x2）=x-lnx-2=0，
所以x∈（1，x），g（x）＜0，h（x）＜0，
所以，所以h（x）=在（1，x2）递减
x∈（x，+∞），g（x）＞0，h（x）＞0，
所以h（x）=在（x，+∞）递增
所以，h（x）min=h（x）=结合
g（x）=x-lnx-2=0得到，
h（x）min=h（x）==x∈（3，4）
所以k＜对x∈（1，+∞）恒成立⇔k＜h（x）min，
所以k≤3，整数k的最大值为3；