Question

设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）．
①求f（x）的解析式，定义域；
②讨论f（x）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer

①根据lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），和对数的运算法则，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函数的定义域，即lgy=3x（3-x），再利用指数和对数的互化即可求得求f（x）的解析式，定义域；②根据复合函数的单调性进行判断，外函数10u是增函数，内涵式u=3x（3-x）=3（3x-x2）在（0，]上单调递增，在[）上单调递减，从而求得函数的单调性，并根据单调性求得函数的值域．
【解析】
①∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴lgy=3x（3-x），
即f（x）=103x（3-x）；x∈（0，3）
②由①知，f（x）=103x（3-x）；x∈（0，3）
令u=3x（3-x）=3（3x-x2）在（0，]上单调递增，在[）上单调递减，
而10u是增函数，
∴f（x）在（0，]上单调递增，在[）上单调递减，
∴当x=0，3时，f（x）取最小值1，当x=时，f（x）取最大值．
∴f（x）的值域为（1，]．