Question

已知=（asinx，cosx），=（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函数f（x）=，且f（）=f（）=2
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer

（I）利用向量的数量积公式，根据f（）=f（）=2，建立方程，即可求函数f（x）的解析式；
（II）将三角函数化简，确定三角函数的范围，即可求得实数k的取值范围．
【解析】
（I）∵=（asinx，cosx），=（sinx，bsinx），
∴函数f（x）==asin2x+bsinxcosx
∵f（）=f（）=2
∴asin2+bsincos=asin2+bsincos=2
∴a=2，b=2
∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx；
（II）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=2sin（2x-）+1
关于x的方程f（x）+log2k=0总有实数解，即-2sin（2x-）=log2k+1总有实数解，
∴|log2k+1|≤2
∴．