如图，已知圆C的方程为：x2+y2-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和...

如图，已知圆C的方程为：x²+y²-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）两点．
（I）在圆上求一点Q，使△ABQ的面积最大，并求出最大面积；
（II）在圆上求一点P，使|AP|²+|BP|²取得最小值．

（I）由于|AB|为定值，故△ABQ的面积最大，Q的纵坐标最大值；（II）利用两点间的距离公式，表示出|AP|2+|BP|2，化简，求|AP|2+|BP|2取得最小值转化为使|OP|2最小即可．【解析】（I）圆C化为标准方程为：（x-3）2+（y-4）2=4，C坐标是（3，4），|AB|=2 ∵S△ABQ=|AB|×|yQ|， ∴Q的纵坐标最大值时，面积最大 ∵C坐标是（3，4），∴Q纵坐标为：4+2=6即Q（3，6）时，面积的最大值是6；（II）设P（x，y），则|AP|2+|BP|2=（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2 要使|AP|2+|BP|2取得最小值，只要使|OP|2最小即可 ∵P为圆上的点，∴点P为OC连线于圆C的交点直线OC：y=x，与（x-3）2+（y-4）2=4联立，可得25x2-150x+189=0 ∴x=或x=＞3（舍去） ∴y= ∴P的坐标为（）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等