Question

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．
（Ⅰ）若，则{a_n}的峰值为    ；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，则实数 t的取值范围是    ．

Answer

（Ⅰ）可以令f（n）=an=-3n2+11n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题；
（Ⅱ）若an=tlnn-n，且an不存在峰值，即不存在最值，从而求出实数t的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）若，可以令f（n）=-3n2+11n，图象开口向下，
可得f（n）=-3n2+11n=-3（n-）2+
可以存在n=2，使得a2=-3×4+11×2=10，对于任意的n∈N都有，an≤2，
可得{an}的峰值为10；
（Ⅱ）若an=tlnn-n，a1=-1，a2=tln2-2，a3=tln3-3，ak=tlnk-k
可以令g（x）=tlnx-x，g′（x）=-1=，（x＞t）
∵若an=tlnn-n，且an不存在峰值，即不存在先增后减的情况，
即a1≥a2，-1≥tln2-2，解得t≤，
还有另外一种情况，后面每一项在t的调节下都相等，an不存在峰值，
即an=an+1，∴tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），
解得t=，n≥2，n∈N*，
综上可得：{t|t≤或t=，n≥2，n∈N*}，
故答案为：10，{t|t≤或t=，n≥2，n∈N*}；