Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PD⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer

（1）取CD的中点F，连接EF、BF，则EF∥PD，由此能够证明EB∥平面PAD．
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，设OB=1，则PA=AD=DC=2，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．
（1）证明：取CD的中点F，连接EF、BF，
则EF∥PD，
∴EF∥平面PAD，
∵BF∥AD，∴BF∥平面PAD，
∴平面EBF∥平面PAD，
∴EB∥平面PAD．
（2）【解析】
如图，建立空间直角坐标系O-xyz，
设OB=1，则PA=AD=DC=2，
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），

∴E（1，1，1），=（0，1，1），，
取平面BDC的法向量，
设平面BDE的法向量，则，，
∴，∴=（2，1，-1），
设二面角E-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．