Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，（a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
（3）对x∈D如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方，则称函数F（x）在D上被函数G（x）覆盖．求证：若a=1时，函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x³覆盖．

Answer

（1）已知x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，可以令x＜0，得-x＞0，代入f（x）即可求解；
（2）假设存在，已知当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，对f（x）进行求导，利用导数求出x∈[-e，0）的最小值让其等于4，求出a值，从而进行判断；
（3）由题意要证函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x3覆盖等价于需证x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，然后令h（x）=x3-x-2lnx（x＞1），求出其导数会发现h（x）为单调增函数，可知f（x）在（1，+∞）上的最小值为h（1），从而求证；
【解析】
（1）当x∈（-∞，0），则-x＞0，由已知得，
f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），
∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴；
（2）假设存在a＜0，满足题意，∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-∞，0）
∴f′（x）=a+=，x∈[-∞，0），
令f′（x）=0，x=-，
当--e，即a＜时，f（x）在（-e，-）是减函数，在（-，0）为增函数，
∴f（x）min=f（-）=4，解得a=-2e，
当-≤-e，即0＞a≥时，f（x）在（-e，0）上增函数，
∴f（x）min=f（-e）=4，解得a=-＜-矛盾；
综上所诉，存在a=-2e满足题意．
（3）证明：由题意知，只需证x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=x3-x-2lnx（x＞1），
∴h′（x）=3x2-1-=，
∵x＞1，∴x-1＞0，3x2+3x+2＞0，
∴h′（x）＞0，对x∈（1，+∞）恒成立，
∴x＞1时，h（x）＞h（1）=0
∴h（x）＞0⇔x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，即证；