Question

设向量，，，
（1）若，求tan（α+β）的值
（2）若tanαtanβ=16，证明：．

Answer

（1）求出，通过，数量积为0，求tan（α+β）的值
（2）通过tanαtanβ=16，化为弦函数，利用两个向量的坐标运算，然后证明．
【解析】
（1）向量，，，
因为，所以，
4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
可得4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
所以tan（α+β）=2．
（2）∵tanαtanβ=16，
=16，
即sinαsinβ=16cosαcosβ，
即sinα•sinβ-4cosα•4cosβ
所以成立．命题得证