Question

已知f（x）=x³+ax²-x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f'（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数的单调区间可知-，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的值；
（2）设切点坐标是M（x，y）（x≠1），然后根据在该点处的导数等于两点的斜率建立等式关系，从而求出x的值，即可求出切线方程；
（3）3x2+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx--，设h（x）=lnx--，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax-1
由题意3x2+2ax-1＞0的解集是即3x2+2ax-1=0的两根分别是-，1
将x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1，
∴f（x）=x3-x2-x+2
（2）设切点坐标是M（x，y）（x≠1）．有=3x2-2x-1
将y=x3-x2-x+2代入上式整理得
得x=1或x=0．
函数f（x）=x3-x2-x+2的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y-2=0或y=1．
（3）由题意：3x2+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x2+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx--
设h（x）=lnx--，则h′（x）=-
令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．