Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}为等差数列，且S₈=56．
①求该等差数列的公差d；
②设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，则当n为何值时，b_n最大？请说明理由；
（2）若{a_n}还同时满足：①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16；③对任意的正整数k，存在自然数m，使得S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，试求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）①{an}为等差数列，且a1+a5=17，S8=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；
②确定数列{bn}的通项，判断其单调性，即可求得bn最大值；
（2）先根据：①{an}为等比数列；②a2a4=16，确定{an}的通项，再利用Sk+2、Sk、Sm依次成等差数列，即可求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）①由题意，得，解得d=-1…（4分）
②由①知，所以，则bn=3n•an=3n•（），…（6分）
因为bn+1-bn=2×3n×（10-n）…（8分）
所以b11=b10，且当n≤10时，数列{bn}单调递增，当n≥11时，数列{bn}单调递减，
故当n=10或n=11时，bn最大…（10分）
（2）因为{an}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或…（12分）
从而或或或．
又因为Sk+2、Sk、Sm依次成等差数列，得2Sk=Sk+2+Sm，而公比q≠1，
所以=+，即2=q2+qm-k  （*）…（14分）
当时，（*）式不成立；当时，解得m=k+1；
当时，（*）式不成立；当时，（*）式不成立．
综上所述，满足条件的是…（16分）