Question

已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-1004.5

Answer

法一：由题意f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是R上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函数的性质得出f（-1）=0，从而可得f（1）=0，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
法二：
【解析】
法一：由题意f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是R上的奇函数，
f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），①
∴f（-x-1）=f（x+1），②
由①②得f（x+1）=-f（x-1）③恒成立，
∴f（x-1）=-f（x-3）④
由③④得f（x+1）=f（x-3）恒成立，
∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值
由于f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，由偶函数知f（1）=0，由周期性知f（3）=0
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=f（2009）=f（1）=0
故选A