Question

已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x）=xf（x）+m²-7m．
（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；
（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）m=1时，g（x）=x|x-1|-6，原不等式即x|x-1|-6≥0，分情况去绝对值并结合一元二次不等式的解法，可得解集；
（2）去绝对值将g（x）化成分段函数的形式，结合二次函数的图象得到当m＞0、当m＜0和当m=0时3种情况下g（x）的单调性，根据这个单调性再结合m与3的大小关系，则不难得到g（x）的最小值的情况；
（3）由题意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，由此讨论函数f（x）的单调性，得到
f（x）在（-∞，4]上的最小值，再结合（2）中所得结论，分3种情况建立不等式并解之，最后综合即可得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m2-7m=x|x-1|-6．
不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，
①当x≥1时，不等式转化为x2-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2
因为x≤-2不满足x≥1，所以此时x≥3
②当x＜1时，不等式转化为-x2+x-6≥0，不等式的解集是空集
综上所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；
（2）g（x）=xf（x）+m2-7m=
∴当m＞0时，g（x）在区间（-∞，）和（m，+∞）上是增函数；（，m）上是减函数；
当m＜0时，g（x）在区间（-∞，m）和（，+∞）上是增函数；（m，）上是减函数；
当m=0时，g（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．
∵定义域为x∈[3，+∞），
∴①当m≤3时，g（x）在区间[3，+∞）上是增函数，得g（x）的最小值为g（3）=m2-10m+9；
②当m＞3时，因为g（0）=g（m）=m2-7m，结合函数g（x）的单调性，得g（3）＞g（m）
∴g（x）的最小值为g（m）=m2-7m．
综上所述，得g（x）的最小值为；
（3）f（x）=，
因为x∈（-∞，4]，所以当m＜4时，f（x）的最小值为f（m）=0；
当m≥4时，f（x）的最小值为f（4）=m-4．
由题意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，结合（2）得
①当m≤3时，由0＞m2-10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；
②当3＜m＜4时，由0＞m2-7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；
③当m≥4时，由m-4＞m2-7m，得4-2＜m＜4+2，故4≤mm＜4+2．
综上所述，实数m的取值范围是（1，4+2）