已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（...

已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）= ．

把f（x+2）=2f（x+1）-f（x）转化后，得到此函数值构成了一个等差数列，根据题意求出首项和公差，由等差数列的通项公式求出f（2009）的值．【解析】由题意知，对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），则此函数的值构成了一个等差数列，首项f（1）=2，公差为=2， ∴f（2009）=2+2008×2=4018．故答案为：4018．

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考点分析：

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试题属性

题型：填空题
难度：中等