Question

已知a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x．
（1）当a=0时讨论函数的单调性；
（2）当x取何值时，f（x）取最小值，证明你的结论．

Answer

（1）把a=0代入f（x）对其进行求导，得到最值，利用导数研究其最值问题，从而求解；
（2）当x取何值时，f（x）取最小值，可以对f（x）进行求解，利用导数研究其单调性，注意x≤0时，f（x）是大于0的，利用此信息进行求解；
【解析】
（1）a=0，可得f（x）=x2ex，可得f′（x）=2xex+x2ex=ex（x2+2x），
若f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2，f（x）是增函数，
若f′（x）＜0，可得-2＜x＜0，可得f（x）是减函数，
∴f（x）的增区间为：（0，+∞），（-∞，-2）；
f（x）的减区间为：（-2，0）；
（2）∵a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex．
当x≤0时f（x）≥0…（8分）
f′（x）=（2x-2a）ex+ex（x2-2ax）=ex（x2-2ax+2x-2a），
令f′（x）=0，可得x2-2ax+2x-2a=0，△=2＞0，
可得x1=a-1+，x2=a-1-，
f（x）在（x2，x1）上为减函数，
f（x）在（x1，+∞），（-∞，x2）上为增函数，
∵当x≤0时f（x）≥0…（8分）
f（x）在x=a-1+处取得极小值也是最小值；
然后由f（x）在[0，+∞）上单调性即得：
当x=a-1+时取得最小值；