Question

定义函数f（x）=，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[-1，1]；
（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；
（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是    ．

Answer

f（x）为分段函数，由已知分别解出自变量的范围，从而求得f（x）的值域为[-，1]，f（x）取得最大值1时，得x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z），求解f（x）的最小正周期周期，利用定义f（x+T）=f（x）来判断，计算出π不是f（x）的最小正周期，经过验证第四个命题是对的．
【解析】
∵sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-+2kπ＜x＜+2kπ
∴f（x）=，∴f（x）的值域为[-，1]
当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．
∵f（x+π）=≠f（x）
∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，
当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）
综上所述，正确的个数是1个，
故答案为1个．