Question

命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

Answer

根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立时，及命题q：∀x∈[1，2]，x2-a≥0时，a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，结合复合命题的真值表，可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．
【解析】
设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，
所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a2-16＜0，
∴-2＜a＜2．…（2分）
若q为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1．…（4分）
由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…（5分）
①若p真q假，则
∴1＜a＜2；…（7分）
②若p假q真，则
∴a≤-2；…（9分）
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）