Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x+1|-|x-2|．
（I）若不等式f（x）≤a的解集为（]．求a的值；
（II）若∃x∈R，f（x）+4m＜m²，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，根据x=时，f（x）=0；当x＜时，f（x）＜0；当x＞时，f（x）＞0，可得a的值．
（Ⅱ）不等式等价于f（x）＜m2-4m，因为f（x）的最小值为-3，所以问题等价于-3＜m2-4m，由此求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=，其图象如下：…（3分）
当x=时，f（x）=0．
当x＜时，f（x）＜0；当x＞时，f（x）＞0．
所以，a=0．…（6分）
（Ⅱ）不等式f（x）+4m＜m2，即f（x）＜m2-4m．
因为f（x）的最小值为-3，所以问题等价于-3＜m2-4m．
解得m＜1，或m＞3．
故m的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞）．    …（10分）