Question

二次函数y=f（x）满足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；

Answer

（1）先由f（0）=1，求得c，再由②f（x+1）-f（x）=2x．用待定系数法求得其解析式．
（2）先配方，求出其对称轴，再根据对称轴与区间的关系，求得最值．
【解析】
（1）设y=ax2+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因为f（x+1）-f（x）=2x所以a（x+1）2+b（x+1）-ax2-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（7分）
所以（9分）
所以f（x）=x2-x+1（10分）
（2）（12分）
当时，，（14分）
当x=-1时，ymax=3．（16分）