Question

已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．

Answer

求导函数f'（x）=2ln（1+x）-2x，构造新函数g（x）=2ln（1+x）-2x，确定g（x）在x=0处取得极大值，且g（0）=0，从而可得f'（x）≤0（当且仅当x=0时取等号），由此可求函数的最大值．
【解析】
由f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x得f'（x）=2ln（1+x）-2x，
令g（x）=2ln（1+x）-2x，则，
当-1＜x＜0时，g'（x）＞0，g（x）在（-1，0）上为增函数；
当x＞0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以g（x）在x=0处取得极大值，且g（0）=0，
故f'（x）≤0（当且仅当x=0时取等号），
所以函数f（x）为[0，+∞）上的减函数，
则f（x）≤f（0）=0，即f（x）的最大值为0．