Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

Answer

（1）根据公式求出函数的导数，根据导数求出函数的极值，根据极值判断根的个数，判断各个根是否大于零
（2）构造不等式，不等式f（x）≤x⇔（x3-6x2+3x+t）ex≤x⇔t≤xe-x-x3+6x2-3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立，即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立．利用恒成立问题及导数求出m的最值
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-3x2-9x+t+3）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵f（x）有三个极值点∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，则g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵g（x）有三个零点∴g（-1）＞0，g（3）＜0
∴-8＜t＜24（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≤x⇔（x3-6x2+3x+t）ex≤x⇔t≤xe-x-x3+6x2-3x
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立，即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ'（x）=-e-x-2x+6
设r（x）=φ'（x）=-e-x-2x+6，则r'（x）=e-x-2，∵x∈[1，m]∴r'（x）＜0
故r（x）在区间[1，m]上是减函数，又r（1）=4-e-1＞0，r（2）=2-e-2＞0，r（3）=e-3＜0
故存在x∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x）=0
当1≤x＜x时有φ′（x）＞0，当x＞x时有φ′（x）＜0
从而y=φ（x）在区间[1，x]上递增，在区间[x0，+∞）上递减
又φ（1）=e-1+2＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0
φ（4）=e-4+7＞0，φ（5）=e-5+8＞0，φ（6）=e-6+9＜0
∴当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，φ（x）＜0
故使命题成立的正整数m的最大值为5…12分