Question

已知函数f（x）=，若存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＜4
C．2≤a＜4
D．a＞2

Answer

已知函数f（x）的解析式，存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，根据函数的对称轴和二次函数的图象进行求解；
【解析】
当x≤1时，f（x）=-x2+ax，开口向下，对称轴为x=-=，
x＞1时，一次函数y=2ax-5恒过点（0，-5），是一条直线，与x轴的交点（，0），
根据存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
当-＜1时，即a＜2，对称轴小于1，开口向下，此时直线y=2ax-5，与x轴的交点（，0），
此时＞，如下图：

肯定存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
满足条件；即a＜2；
当a≥2时，对称轴大于1，存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
如下图：
直线y=2ax-5在直线l处肯定不行，在m处可以，
此时需要：二次函数y=-x2+ax，在x=1处的函数值，大于等于一次函y=2ax-5数在x=1处的函数值，
可得在x=1处有1+a＞2a-5，即2≤a＜4，
综上得a＜4；
故选B；