Question

若抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点P₁，P₂，已知|P₁P₂|=8．
（1）过点M（3，0）且斜率为a的直线与曲线C相交于A、B两点，求△FAB的面积S（a）及其值域．
（2）设m＞0，过点N（m，0）作直线与曲线C相交于A、B两点，若∠AFB恒为钝角，试求出m的取值范围．

Answer

（1）根据|P1P2|=8，可得2p=8，从而可得抛物线C的方程，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可求△FAB的面积S（a），从而可求其值域；
（2）直线方程代入y2=8x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB为钝角，可得•＜0，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围．
【解析】
（1）由条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y2=8x，
设过M所作直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x得ay2-8y-24a=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=-24，
∴S（a）=|MF||y1-y2|=2＞2
∴值域为（2，+∞）；
（2）设直线方程为ty=x-m，代入y2=8x得y2-8ty-8m=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8t，y1y2=-8m
∵F（2，0），∴=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
∵∠AFB为钝角，∴•＜0，∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，
∴-2[t（y1+y2）+2m]+4-8m＜0，
因此m2-12m+4＜0，∴6-4＜m＜6+4
∵m≠2，∴m的范围是（6-4，2）∪（2，6+4）．