Question

在路边安装路灯，灯柱OA的高为h，路宽OC为23米，灯杆AB的长为2.5米，且与灯柱OA成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直．请你建立适当的直角坐标系，解决以下问题：
（1）当h=10米时，求灯罩轴线BD所在的直线方程；
（2）当h为多少米时，灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线．

Answer

（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可得点A，C，B的坐标，利用BD⊥AB，即可确定BD的方程；
（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（11.5，0），由（1）可得BD的方程为y-（h+1.25）=-（x-1.25），将D的坐标（11.5，0），即可求得h的值．
【解析】
（1）以灯柱底端O点为原点，
灯柱OA所在直线为y轴，
路宽OC所在直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系，（2分）
则A点的坐标为（0，h），
C点的坐标为（23，0），…（3分）
因为灯杆AB与灯柱OA成120°角，
所以AB的倾斜角为30°，则B点的坐标为（2.5cos30°，h+2.5sin30°），
即（1.25，h+1.25）．--------------------------------------------------------------------（5分）
因为BD⊥AB，所以，…（7分）
当h=10时，B点的坐标为（1.25，11.25），
此时BD的方程为y-11.25=-（x-1.25），即   …（10分）
（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（11.5，0）．      …（11分）
由（1）可得BD的方程为y-（h+1.25）=-（x-1.25）
将D的坐标（11.5，0），代入可得：-（h+1.25）=-（x-1.25）
∴h=11.5-5（米）．