Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）用定义证明g（x）在[-1，1]上为单调递减函数；
（3）若函数y=f（x）-4和g（x）值域相同，求y=f（x）-4的定义域．

Answer

（1）f（x）=3x，并且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x，可得3a+2=18，可求得a的值，可以求得函数g（x）的解析式；
（2）可得g（x）的解析式，任取实数x1，x2满足-1≤x1＜x2≤1，利用定义法进行求解，判断g（x1）-g（x2）与0的关系，从而求解；
（3）利用换元法，令t=2x，x∈[-1，1]，则2x∈[，2]，求出g（x）的值域，可以求出y=f（x）-4的定义域．
【解析】
（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3x，
∴3a+2=18⇒3a=2，
∴g（x）=（3a）x-4x=2x-4x，x∈[-1，1]…（4分）
（2）g（x）=2x-4x，x∈[-1，1]，任取实数x1，x2满足-1≤x1＜x2≤1

y=2x为单调递增函数，-1≤x1＜x2≤1，则，
则
则g（x1）-g（x2）＞0，于是g（x）在[-1，1]上为单调递减函数…（8分）
（3）令t=2x，x∈[-1，1]，则2x∈[，2]，⇒t-t2=-（t-）2+，t∈[，2]，
于是g（x）值域为[-2，]，则y=f（x）-4值域为[-2，]即
-2≤3x-4≤，得log32≤x≤，
即y=f（x）-4的定义域为：[log32，]；