Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数f（x）=2^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，求使成立的n的最大值．

Answer

（1）由题意得Sn=2n，由项与前n项的关系an=得数列{an}的通项公式；
（2）由数列{an}的通项公式得bn的表达式，把数列{bn}中的每项都裂成两部分，也就是差的形式，各项相加，可消项，最后只留两项，代入不等式可求n的范围，又n是正整数，可得n的最大值．
【解析】
（1）由题意得Sn=2n，则Sn-1=2n-1（n≥2），
∴an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1（n≥2），
又a1=S1=2，∴an=
（2）∵bn=log2an=
∴==（-）
∴+++…+
=（1-+-+-+…+-）
=（1-）
∴（1-）＜得n＜10
∴使+++…+＜成立的n的最大值为9．