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设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,…. (1...

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,….
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=n (3-bn),求数列{cn}的前n项和为Tn
(1)利用数列中an与 Sn关系解决. (2)结合(1)所求得出bn+1-bn=.利用累加法求bn (3)由上求出cn=n (3-bn)=,利用错位相消法求和即可. 【解析】 (1)因为n=1时,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1. 因为Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2. 两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0,即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an. 因为an≠0,所以=( n∈N*). 所以数列{an}是首项a1=1,公比为的等比数列,an=( n∈N*). (2)因为bn+1=bn+an( n=1,2,3,…),所以bn+1-bn=.从而有b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=,…,bn-bn-1=( n=2,3,…). 将这n-1个等式相加,得bn-b1=1+++…+==2-. 又因为b1=1,所以bn=3-( n=1,2,3,…). (3)因为cn=n (3-bn)=, 所以Tn=.   ① =.       ② ①-②,得=-. 故Tn=-=8--=8-( n=1,2,3,…).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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