Question

已知函数，
（1）讨论f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）当f（x）是奇函数时，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常数）上的值域．

Answer

（1）分类讨论，利用函数奇偶性的定义，可得结论；
（2）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，可得函数的值域．
【解析】
（1）当a=0时，，∴，故f（x）为奇函数．（2分）．
当a≠0时，f（a）=0，，∴f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），
故f（x）为非奇非偶函数．（4分）．
（2）当a=0时，为奇函数，，令f'（x）=0，得x=±2．
当x变化时f'（x）与f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - + -
f（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减

又当x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＜0．
故f（x）（x∈R）的最大值为；f（x）（x∈R）的最小值为．（8分）．
由上可知当x∈[-c，c]（c＞0）时，
（1）若0＜c≤2，则f（x）在[-c，c]（c＞0）上单调递增，所以f（x）的值域为（10分）．
（2）若c＞2，则f（x）在[-c，-2]上单调递减，在[-2，2]上单调递增，在[2，c]上单调递减，所以f（x）的值域为．（12分）