根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性,结合单调性可将不等式f(x+2a)>4f(x)可化为x+2a>2x,将恒成立问题转化为最值问题后,易得答案.
【解析】
∵y=|x|为偶函数,y=x为奇函数
∴f(x)=x|x|奇函数
当x≥0时,f(x)=x2为增函数,由奇函数在对称区间上单调性相同可得
函数f(x)在R上增函数
又∵不等式f(x+2a)>4f(x)可化为(x+2a)|x+2a|>4x•|x|=2x•|2x|=f(2x)
故当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立,
即当x∈[a,a+1]时,不等式x+2a>2x恒成立
即x<2a恒成立
即a+1<2a
解得a>1
故实数a的取值范围是(1,+∞)
故答案为:(1,+∞)