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已知函数f(x)=x|x|.当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)>4f(...

已知函数f(x)=x|x|.当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立,则实数a的取值范围是   
根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性,结合单调性可将不等式f(x+2a)>4f(x)可化为x+2a>2x,将恒成立问题转化为最值问题后,易得答案. 【解析】 ∵y=|x|为偶函数,y=x为奇函数 ∴f(x)=x|x|奇函数 当x≥0时,f(x)=x2为增函数,由奇函数在对称区间上单调性相同可得 函数f(x)在R上增函数 又∵不等式f(x+2a)>4f(x)可化为(x+2a)|x+2a|>4x•|x|=2x•|2x|=f(2x) 故当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立, 即当x∈[a,a+1]时,不等式x+2a>2x恒成立 即x<2a恒成立 即a+1<2a 解得a>1 故实数a的取值范围是(1,+∞) 故答案为:(1,+∞)
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