Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由已知分别令n=1，2，代入即可求a2，a3，由an+1=3Sn+1，及当n≥2时，an=3Sn-1+1．两式相减，结合等比数列的通项公式即可求解通项
（Ⅱ）利用错位相减求和的方法即可求Tn；
（Ⅲ） 由已知利用叠加法及对数的运算性质、等差数列的求和公式可求bn，
【解析】
（Ⅰ）由已知得，a2=4，a3=16．…（2分）
由题意，an+1=3Sn+1，则当n≥2时，an=3Sn-1+1．
两式相减，得an+1=4an（n≥2）．…（3分）
又因为a1=1，a2=4，，
所以数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{an}的通项公式是（n∈N*）．…（5分）
（Ⅱ）因为，
所以，…（6分）
两式相减得，，…（8分）
整理得，（n∈N*）．…（9分）
（Ⅲ） 当n≥2时，依题意得b2-b1=log2a2，b3-b2=log2a3，…，bn-bn-1=log2an．
相加得，bn-b1=log2a2+log2a3+…+log2an．…（12分）
依题意．
因为b1=0，所以bn=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
显然当b1=0时，符合．
所以bn=n（n-1）（n∈N*）．…（14分）