Question

设函数，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥2a成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，设x₁＞0，x₂＞0，试比较f（）与的大小并说明理由．

Answer

（I）由已知先出函数的定义域，及导函数，进而对a值进行分类讨论，分析出导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（I）的结论，我们可以求出x＞0时f（x）的最小值，进而将恒成立问题转化为函数最小值不小于2a，构造关于a的不等式，可得a的取值范围；
（Ⅲ）由（I）的结论，我们二次求导，分析出函数的凸凹性，进而可以分析出f（）与的大小．
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
（Ⅰ）由题意x＞0，，…（2分）
（1）当a＞0时，
由＜0，
解得x＜，函数f（x）的单调递减区间是（0，）；
由＞0，
解得x＞，函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）． …（4分）
（2）当a≤0时，
由于x＞0，所以恒成立，
函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即恒成立．
因为a＞0，由（Ⅰ）可知
当x=时，函数有最小值f（）==a-alna．…（7分）
所以2a≤a-alna，解得．
故所求实数a的取值范围是．    …（9分）
（Ⅲ）因为，
=．…（10分）
所以=．
（1）显然，当x1=x2时，．       …（11分）
（2）当x1≠x2时，因为x1＞0，x2＞0，且a＜0，
所以x1+x2＞2，
所以＞1，＜0．…（12分）
又，所以
所以f（）-＜0，
即f（）＜．
综上所述，当x1=x2时，；当x1≠x2时，f（）＜．…（14分）