Question

抛物线x²=8y的准线与y轴交于点A，点B在抛物线对称轴上，过A可作直线交抛物线于点M、N，使得=-，则||的取值范围是    ．

Answer

由题意可设直线MN的方程为y=kx-2，M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x，y），联立方程 可得x2-8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由•=-可得BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，令x=0可求B的纵坐标，从而可求得||的范围．
【解析】
由题意可得A（0，-2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx-2，联立方得x2-8kx+16=0，
设M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x，y），
则△=64k2-64＞0，即k2＞1，
x1+x2=8k，y1+y2=k（x1+x2）-4=-4+8k2，
∴x=4k，y=-2+4k2即E（4k，-2+4k2）．
∵•=-，
∴2•+=0，即2•（+）=0，而+=，
∴BE⊥MN即点B在MN的垂直平分线上，
∵MN的斜率为k，E（4k，-2+4k2）．
∴MN的垂直平分线BE的方程为：y-4k2+2=-（x-4k），与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=2+4k2，
则||=2+4k2＞6．
故答案为：（6，+∞）．