Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，a，x∈R
（1）讨论函数的单调区间；
（2）如果存在a∈[-2，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer

（1）函数f（x）=ax3+x2-ax，对其进行求导，讨论a的值，讨论其单调性，从而求解；
（2）存在a∈[-2，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1处取得最小值，将问题转化为h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，再利用常数分离法进行求出b的范围；
【解析】
（1）∵g（x）=ax2+x-a-lnx，
∴g′（x）=2ax+1-=（x＞0）
∴当a≤-时，g（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-＜a＜0时，g（x）在（0，），（，+∞）上单调递减，
在（，）单调递减；
当a=0时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递减；
当a＞0时，g（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．
（2）依题意有h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，
当x=-1时，显然成立，当-1＜x≤-b时，
可化为ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0，
令φ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），
由于二次函数φ（x）是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处
处取得，又φ（-1）=-4a＞0，所以只需φ（b）≥0，
即ab2+（2a+1）b+（1-3a）≥0，即，
因为关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
所以=1，即b2+b-4≤0，又b＞-1，
所以-1＜b≤，从而b的最大值为；