Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（2）若对有2个不等实根，证明必有一个根属于（x₁，x₂）．
（3）若f（0）=0，是否存在b的值使{x|f（x）=x}={x|f[f（x）]=x}成立，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意可得a+b+c=0，a＞0且c＜0，，假设存在，由题意，则，故 ，，
由f（x）在（1，+∞）单调递增，故有 f（m+3）＞f（1）=0，从而得到存在这样的m使f（m+3）＞0．
（2）由条件可得 g（x1）•g（x2）=，又f（x1）≠f（x2），故有g（x）=0有两个不等实根，且方程g（x）=0 的根必有一个属于（x1，x2）．
（3）由f（0）=0得c=0，故f（x）=ax2+bx，由f（x）=x，解得x1=0，x2=．由f[f（x）]=x 得f（x）-x=0 或 a2x2+a（b+1）x+b+1=0，其解为解为0，或，或无解，分类分别求出b的范围，取并集即得b的取值范围．
【解析】
（1）因为f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0且c＜0，
∵f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一个根为，
∴，又a＞b＞c，b=-a-c，∴可得 ，
假设存在，由题意，则，∴，∴．
因为f（x）在（1，+∞）单调递增，∴f（m+3）＞f（1）=0，
即存在这样的m使f（m+3）＞0．
（2）令 ，则g（x）是二次函数，
∵ 
=．
又∵f（x1）≠f（x2），g（x1）•g（x2）＜0，∴g（x）=0有两个不等实根，
且方程g（x）=0 的根必有一个属于（x1，x2）．
（3）由f（0）=0得c=0，∴f（x）=ax2+bx．
由f（x）=x，得方程ax2+（b-1）x=0，解得：x1=0，x2=，
又由f[f（x）]=x 得：a[f（x）]2+bf（x）=x，∴a[f（x）-x+x]2+b[f（x）-x+x]=x，
∴a[f（x）-x]2+2ax[f（x）-x]+ax2+b[f（x）-x]+bx-x=0，
∴[f（x）-x][af（x）-ax+2ax+b+1]=0，即[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+b+1]=0，
∴f（x）-x=0 或 a2x2+a（b+1）x+b+1=0．（*）
由题意（*）式的解为0，或，或无解，
当（*）式的解为0时，可解得b=-1，经检验符合题意．
当（*）式的解为时，可解得b=3，经检验符合题意；
当（*）式无解时，△=a2（b+1）2-4a2（b+1）＜0，即a2（b+1）（b-3）＜0，∴-1＜b＜3．
综上可知，当-1≤b≤3时满足题意．