Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=-x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-，]
C．
D．

Answer

根据题意，可求出f（x）区间（-1，2]上的分段函数的表达式，然后在同一坐标系内作出y=f（x）和y=m（x+1）的图象，
观察直线y=m（x+1）的斜率m变化，可得直线y=m（x+1）位于图中AB、AC之间（包括AC）活动时，两个图象有三个公共点，由此求出直线AB、AC的斜率并与实数m加以比较，即可得到本题的答案．
【解析】
设得x+1∈[0，1]，此时f（x+1）=-（x+1）=-x-
∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）
∴当-1≤x≤0时，f（x）=x+．
又∵f（x+2）=-f（x+1）═-[f（-x）]=f（x）
∴f（x）是以2为周期的函数，可得当1≤x≤2时，f（x）=f（x-2）=x-．
综上所述，得f（x）区间（-1，2]上的表达式为f（x）=
为了研究g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]上的零点，将其形为
f（x）=m（x+1），在同一坐标系内作出y=f（x）和y=m（x+1）的图象，
如右图所示，y=f（x）图象是三条线段构成的折线，y=m（x+1）的图象是直线
因为直线y=m（x+1）经过定点A（-1，0），所以由图象可得当直线y=m（x+1）
位于图中AB、AC之间（包括AC）活动时，两个图象有三个公共点，相应地
g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]也有3个零点
∵B（1，-0.5），C（2，0.5），
∴kAB==-，kAC==
而直线y=m（x+1）的斜率为m，它在AB、AC之间（包括AC）活动时，m（-，]．
因此，使得g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点的m取值范围为（-，]