Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=12°，B₁C=3．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
（II）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）先证明BB1⊥BC，再利用三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AB•ACsin120°•AA1，可得结论；
（Ⅱ）确定∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角或其补角，在△B1CA中，利用cos∠B1CA=，可求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
【解析】
（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC．
又BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC．
由AB=AC=1，∠BAC=120°，得BC==．
在Rt△B1BC中，BB1==．…（4分）
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AB•ACsin120°•AA1=×1×1××=．…（6分）
（Ⅱ）因为AC∥A1C1，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角或其补角．
由（Ⅰ），BB1⊥平面ABC，则BB1⊥AC．
在Rt△B1BA中，AB1==．…（9分）
在△B1CA中，cos∠B1CA==，∴∠B1CA=60°，
所以异面直线B1C与A1C1所成角的大小为60°．…（12分）