Question

设动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，点M的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A，B两点，且．当2≤λ≤3时，求直线l斜率k的取值范围•

Answer

（Ⅰ）利用动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，建立方程，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及向量知识，可求直线l斜率k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，∵动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，
∴|y-3|=•．
化简，得曲线E的方程为3x2+2y2=6．…（4分）
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（2k2+3）x2+4kx-4=0．…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，①x1x2=-．②
∵=λ，∴（-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1），
由此得x1=-λx2．③
由①②③，得+==．…（9分）
因为2≤λ≤3，所以≤-≤，从而≤≤2，
解不等式≤+≤2，得≤k2≤3．
故k的取值范围是[-，-]∪[，]．…（12分）