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已知函数f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求函数f(x)的...

已知函数f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求函数f(x)的定义域I;
(2)判断函数f(x)在定义域I上的单调性,并说明理由;
(3)当a,b满足什么关系时,f(x)在[1,+∞)上恒取正值.
(1)由对数函数的真数大于零求解. (2)当函数在定义域上单调时,则不存在,当函数在定义域上不单调时,则存在,所以要证明函数是否单调,可用定义法,也可用导数法研究. (3)由“f(x)在(1,+∞)上恒取正值”则需函数的最小值非负即可,由(2)可知是增函数,所以只要f(1)≥0即可. 【解析】 (1)f(x)=ln(ax-bx)(a>1>b>0)要意义,ax-bx>0(2分) (只要学生得出答案,没有过程的,倒扣一分,用指数函数单调性或者直接解出) ∴所求定义域为(0,+∞)(4分) (2)函数在定义域上是单调递增函数(5分) 证明:∀x1,x2,0<x1<x2(6分) ∵a>1>b>0∴(7分) (9分) 所以原函数在定义域上是单调递增函数(10分) (3)要使f(x)在[1,+∞)上恒取正值 须f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0-(11分) 由(2)ymax=f(1)=ln(a-b)(12分) ∵ln(a-b)>0∴a-b>1 所以f(x)在[1,+∞)上恒取正值时有a-b>1.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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