Question

在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100•（Acos（ωn+2）+k）来刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数；ω＞0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）（2）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

Answer

（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得ω，利用规律②可求得函数的最大值和最小值，则可求得三角函数解析式中的振幅A；同时根据n=2时，f（2）的值求得k，则函数的解析式可得．
（2）利用余弦函数的性质根据题意求得cos（n+2）的范围进而求得n的范围，根据n∈[1，12]，n∈N*，进而求得n的值．
【解析】
（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，；
由规律②可知，f（n）max=f（8）=100A+100k，f（n）min
=f（2）=-100A+100kf（8）-f（2）=200A=400⇒A=2；
又当n=2时，，
所以，k≈2.99，由条件k是正整数，故取k=3．
综上可得，符合条件．
（2）由条件，，
可得，k∈Z，
k∈Z，k∈Z．
因为n∈[1，12]，n∈N*，所以当k=1时，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．