Question

（1）已知：，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer

（1）将f（x）进行化简成对勾函数的形式，换元令t=2x+1，1≤t≤3然后利用定义进行判断函数的单调性，
（2）直接利用单调函数的定义进行判定
（3）存在性问题，转化成f（x）的值域⊆g（x）的值域求解即可
【解析】
（1），设t=2x+1，1≤t≤3
则
任取t1、t2∈[1，3]，且t1＜t2，，
当时，f（x）单调递减；
当时，f（x）单调递增．
由，得f（x）的值域为[-4，-3]．
（2）设x1、x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3a2）＞0，
所以g（x）单调递减．
（3）由g（x）的值域为：1-3a2-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以满足题设仅需：1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，．