Question

已知函数f（x）=2log_a（x+1）-log_a（1-x）其中a＞0，且a≠1，
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）当0＜a＜1时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（3）当a＞1，且x∈[0，1）时，总有f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由 可得x∈（-1，1），从而得到函数f（x）的定义域．
（2）由f（x）≥0得2loga（x+1）≥loga（1-x），解对数不等式可得，由此求得它的解集．
（3）设，令t=1-x，t∈（0，1]，利用单调性求得u的最小值为1，可得的最小值为0，从而求得m的取值范围．
【解析】
（1）由 可得x∈（-1，1），故函数f（x）的定义域为（-1，1）．…（3分）
（2）由f（x）≥0得2loga（x+1）≥loga（1-x），
∵0＜a＜1，∴，∴x∈（-1，0]． …（8分）
（3）由题意知：a＞1且x∈[0，1）时，恒成立．…（9分）
设，令t=1-x，t∈（0，1]，∴，…（10分）
设0＜t1＜t2≤1，∵，∴u（t）在t∈（0，1]上单调递减，
∴u（t）的最小值为=1．…（12分）
又∵a＞1，∴的最小值为0，…（13分）
∴m的取值范围是m≤0．…（14分）