Question

已知等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比，数列{a_n} 前n项和记为s_n，前n项积记为
（1）证明s₂≤s_n≤s₁
（2）判断与的大小，n为何值时，取得最大值
（3）证明{a_n} 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，证明：数列{d_n}为等比数列．（参考数据2¹⁰=1024）

Answer

（1）由等比数列{an} 的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列{an} 前n项和sn，然后分n为奇数和偶数两种情况即可得到sn的最大值和最小值，得证；
（2）由π（n）表示前n项之积，表示出，根据n等于10时其值大于1，n等于11时其值小于1，得到|π（n）|最大值等于|π（11）|，但是π（11）小于0，而π（10）小于0，π（9）大于0，π（12）大于0，所以π（n）的最大值是π（9）与π（12）中的较大者，利用做商的方法即可判断出π（n）的最大值是π（12）；
（3）设出数列{an} 中的任意相邻三项为：an，an+1，an+2，然后根据|an|随n增大而减小，{an}奇数项均为正，偶数项均为负，分n为奇数和偶数对设出的三项进行调整，利用等差数列的性质确定其三项为等差数列，并求出相应的公差，得到数列{dn}的通项，根据等比数列的性质可得数列{dn}为等比数列，得证．
【解析】
（1）由等比数列{an} 的首项a1=2011，公比，
得sn==a1[1-]，
①n是奇数时，=-，n=1时，-最小，
②n是偶数时，=，n=2时，最大，
综上：s2≤sn≤s1；
（2）∵|π（n）|=|a1a2a3…an|，∴=|an+1|=2011×，
∵＞1＞，
当n≤10时，|π（n+1）|＞|π（n）|；当n≥11时，|π（n+1）|＜|π（n）|；
∴|π（n）|max=|π（11）|，但π（11）＜0，∵π（10）＜0，π（9）＞0，π（12）＞0，
∴π（n）的最大值是π（9）与π（12）中的较大者，
∵=a10•a11•a12=＞1，
∴π（9）＜π（12），
∴当n=12时，π（12）最大；
（3）对an，an+1，an+2进行调整，|an|随n增大而减小，{an}奇数项均为正，偶数项均为负，
①当n是奇数时，调整为：an+1，an+2，an；
则an+1+an=a1+a1=a1，2an+2=2a1=a1，
∴an+1+an=2an+2，即an+1，an+2，an成等差数列；
②当n为偶数时，调整为：an，an+2，an+1，
则an+1+an=a1+a1=a1，2an+2=2a1=a1，
∴an+1+an=2an+2，即an，an+2，an+1成等差数列；
所以{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列．
①n是奇数时，公差dn=an+2-an+1=a1[-]=a1；
②当n为偶数时，公差dn=an+2-an=a1[-]=a1，
无论n是奇数还是偶数，都有dn=a1，则=，
∴数列{dn}是以d1=a1，公比为的等比数列．