Question

已知函数，x∈R其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导函数，找出导函数的零点，把定义域由零点分成几个区间判断导函数在各区间内的符号，从而得到原函数在个区间内的单调性；
（2）根据（1）中秋出的单调区间，说明函数在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，结合函数零点和方程根的转化列式可求a的范围．
【解析】
由，得f′（x）=x2+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f′（x）=0，得x1=-1，x2=a＞0．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
故函数f（x）的增区间是（-∞，-1），（a，+∞）；减区间为（-1，a）．
（2）由（1）知f（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜．
所以a的取值范围是（0，）．